Große Zahlen

Große Zahlen faszinieren die Menschheit, seitdem sie das Zählen gelernt haben.
Doch was sind besonders große Zahlen?

Unser alltägliches Denken in Zahlen endet meistens bei einigen Hundert Milliarden, denkt man z.B. an den Staatshaushalt.
Alles ist relativ!

Doch wo liegt eigentlich das Ende des sinnvollen Zahlenbereichs?
Für den Mathematiker gibt es kein reales Ende: Zu jeder Zahl gibt es immer noch eine größere.

In der physikalischen Betrachtung unserer Welt unterliegt das Abzählen jedoch Grenzen, die ich Ihnen im folgenden etwas näher bringen möchte.

Zunächst einige Grundlagen zur Darstellung großer Zahlen:
Weil Zahlen oberhalb von 1000000 in ausgeschriebener Form nur schwer zu überblicken sind, werden diese üblicherweise als Zehnerpotenzen (Basis 10 mit Exponent) dargestellt, z.B. die Zahl 100000000, also eine 1 mit 8 Nullen, wird zu 108 (10 hoch 8), wegen der einfacheren Formatierung als 10^8 geschrieben.

Nicht glatte Zahlen werden als Faktor in Kombination mit einer Zehnerpotenz geschrieben: 2350000 = 2,35 * 106.

Im Sprachgebrauch und in der Technik werden Zehnerpotenzen mit Exponenten, die durch 3 teilbar sind, wie folgt benannt:

Zehner-Potenz Zahl Sprachgebrauch Vorsilbe für
Maßeinheiten
10^3 1000 Tausend Kilo (k)
10^6 1 000 000 Million Mega (M)
10^9 1 000 000 000 Milliarde * Giga (G)
10^12 1 000 000 000 000 Billion * Tera (T)
10^15 1 000 000 000 000 000 Billiarde Peta (P)
10^18 1 000 000 000 000 000 000 Trillion * Exa (E)
10^21 1 000 000 000 000 000 000 000 Trilliarde Zetta (Z)
10^24 1 000 000 000 000 000 000 000 000 Quadrillion Yotta (Y)
10^30 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Quintillion  
10^36   Sextillion  
10^42   Septillion  
10^48   Oktillion  
* Im Englischen wird dagegen 10^9 als "billion" und 10^12 als "trillion" bezeichnet!

Mathematisch kann man große Zahlen mit verschiedenen Funktionen leicht erzielen:

Funktion Schreibweise Beispiele (gerundet)
Exponentialfunktion exp(x) exp(30)=10^13     exp(100)=10^43     exp(1000)=10^434
Fakultät* x! 25!=10^25    70!=10^100    100!=10^158
1000!=10^2567  10000!=10^35659   100000!=10^456573

* Mit diesem Skript können Sie die Fakultäten beliebig großer Zahlen errechnen.

Ein mathematischer Wettbewerb besteht darin, eine möglichst große Primzahl (mit dem Computer) zu errechnen.
Zur Zeit steht der Rekord bei einer Zahl mit über 17 Millionen Stellen!

Doch gibt es solch große Zahlen in der physikalischen Realität?  Nein!
Die folgende Tabelle zeigt einige Grenzen auf.

Anzahl der Atome in 0,2 Liter Luft 10^22
Anzahl der Atome in 1 kg Eisen 10^25
Anzahl der Atome der Erde 10^51
Anzahl der Atome im Weltall 10^77

Eindrucksvoll ist auch die Anekdote vom Erfinder des Schachspiels, der als Lohn vom König wünschte, dass auf dem erstem Feld des Schachbretts ein Reiskorn, auf dem zweiten Feld 2 Reiskörner, auf dem dritten Feld 4 usw., also jeweils das Doppelte des vorhergehenden liegen sollte. Insgesamt kommen so auf den 64 Feldern erstaunliche 1.8 * 10^19 (= 2 hoch 64 - 1) Körner zusammen, was der in 1000 Jahren heute auf der Erde produzierbaren Reismenge entspricht. Denn allein auf dem 47. Feld müssten schon mehr als 1 Million Tonnen Reis liegen!

Dagegen werden bei Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen schnell alle Grenzen erreicht (gerundete Werte):

Anzahl der Kombinationen beim Lotto 6 aus 49 10^7
Variationen beim 20-maligen Würfeln (6^20) 10^15
Variationen beim 50-maligen Würfeln (6^50) 10^39
Variationen beim 100-maligen Würfeln (6^100) 10^78
Chiffrierungsmöglichkeiten mit 64 Bit (2^64) 10^19
Chiffrierungsmöglichkeiten mit 128 Bit (2^128) 10^38
Chiffrierungsmöglichkeiten mit 256 Bit (2^256) 10^77

In der Computerprogrammen werden Zahlen als ganze Zahlen (Integer) mit fester Bitbreite oder als Floating-Point-Zahlen mit standardisierten Formaten repräsentiert. Deren Grenzen sind (abgerundet):

Zahlen-Darstellung maximale Zahl
32 Bit Integer 10^9
64 Bit Integer 10^18
128 Bit Integer 10^38
64 Bit Floating Point 10^308
80 Bit Floating Point 10^4932

... also völlig ausreichend für alle praktischen Berechnungen.